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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN RAYLEIGH

Definición de distribución

X∼Rayleigh(γ,σ)X\sim\mathrm{Rayleigh}\left(\gamma,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈[γ,∞)x\in\left[\gamma,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

γ∈R,σ∈R+\gamma\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−e−z(x)2/2F_{X}\left(x\right)=1-e^{-z(x)^{2}/2}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=z(x)×e−z(x)2/2/σf_{X}\left(x\right)=z(x)\times e^{-z(x)^{2}/2}/\sigma

Función de punto percentil

FX−1(u)=γ+σ−2log⁡(1−u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\gamma+\sigma\sqrt{-2\log\left(1-u\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=2kΓ(k2+1)\mu'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\sqrt{2^{k}}\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)

Media paramétrica

Mean(X)=γ+σ⋅μ1′=γ+σπ2\mathrm{Mean}(X)=\gamma+\sigma\cdot\mu'_{1}=\gamma+\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}

Varianza paramétrica

Variance(X)=σ2(μ2′−μ1′2)=σ24−π2\mathrm{Variance}(X)=\sigma^{2}(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\sigma^{2}\frac{4-\pi}{2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2(π−3)π(4−π)3/2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2\left(\pi-3\right)\sqrt{\pi}}{\left(4-\pi\right)^{3/2}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+24π−6π2−16(4−π)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{24\pi-6\pi^{2}-16}{\left(4-\pi\right)^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=γ+σ−2log⁡(12)\mathrm{Median}(X)=\gamma+\sigma\sqrt{-2\log\left(\frac{1}{2}\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=γ+σ\mathrm{Mode}(X)=\gamma+\sigma

Información y definiciones adicionales

X~∼Rayleigh(0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{Rayleigh}\left(0,1\right)
γ:Location parameter\gamma:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−γ)/σz\left(x\right)=\left(x-\gamma\right)/\sigma
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}