Distribución Rayleigh

La idea en una frase

Rayleigh describe la magnitud de un vector bidimensional cuyas componentes son normales centradas e independientes. Es la distribución natural de una amplitud cuando las contribuciones en fase y cuadratura son ruido gaussiano.

Soporte e interpretación

El soporte comienza en gamma. Después de restar ese piso, la variable es no negativa y sigma controla la dispersión radial; el caso estándar usa gamma=0.

Un lugar dentro de la familia

Es Chi con dos grados de libertad y un caso de Weibull con forma 2. Rice añade una componente determinista y describe el mismo tipo de amplitud cuando existe una señal dominante.

Una lectura aplicada

En comunicaciones, Rayleigh representa multipropagación sin trayectoria dominante. En oceanografía puede servir como referencia para amplitudes de oleaje lineal, aunque ondas grandes y no linealidad pueden romperla.

No usar Rayleigh para amplitudes con componente de señal coherente sin comparar con Rice o Nakagami.

Dos ruidos gaussianos se convierten en una amplitud

Tome dos componentes normales centradas, independientes y con igual escala. La distancia del punto resultante al origen sigue Rayleigh. Lord Rayleigh encontró esta forma al estudiar la suma de vibraciones con fases aleatorias.

El cuadrado de la amplitud es Exponencial después del reescalamiento. Esta relación simplifica modelos de potencia en radar y comunicaciones. Rayleigh es también una Chi con dos grados de libertad y el caso de Rice sin componente determinista. Si las componentes tienen escalas distintas o correlación, la amplitud ya no es Rayleigh. En un canal inalámbrico, aceptar el modelo equivale a afirmar dispersión sin una línea de vista dominante.

Guía de elección

Buena candidata cuando: después de restar gamma, la observación es la magnitud de dos componentes gaussianos centrados e independientes con igual varianza.

Compárala con: Rice si existe una componente determinista y Nakagami para mayor flexibilidad empírica. El cuadrado de una Rayleigh debe mostrar estructura Exponential.

Referencias

• Referencia de SciPy: scipy.stats.rayleigh — definición y parametrización
• Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
• Rayleigh, Lord (1880). On the resultant of a large number of vibrations of the same pitch and of arbitrary phase. Philosophical Magazine, 10(60), 73–78.
• Papoulis, A. (1965). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill.