PLAYGROUND

Distribución Gamma

Qué describe

Gamma es una familia positiva que describe tiempos acumulados, cantidades de espera y tasas latentes. Sus parámetros de forma y escala permiten pasar de una curva decreciente a una forma con pico interior.

Su soporte es toda la recta positiva. alpha controla la forma y beta la escala en la convención de Phitter; verificar siempre si otro programa usa beta como tasa.

Historia y nombres

La función Gamma de Euler aparece en análisis del siglo XVIII; la distribución se consolidó en teoría de probabilidad y estadística como extensión continua de la suma de exponenciales.

Relación con otras distribuciones

Erlang es Gamma con forma entera y Exponential es el caso alpha=1. La chi-cuadrado es Gamma con una escala específica; la Beta nace de normalizar dos Gammas independientes.

Dónde aparece

  • tiempos hasta completar varias etapas
  • precipitación, seguros, fiabilidad y modelos bayesianos de tasas

Precauciones al ajustar

Un buen ajuste Gamma no prueba que exista un proceso de etapas: la familia es flexible y puede aproximar otros mecanismos positivos.

Esperar una vez o acumular muchas etapas

Cuando la forma vale uno, Gamma se convierte en Exponencial. Cuando la forma es un entero, describe la suma de ese número de esperas exponenciales y recibe el nombre de Erlang. Fuera de los enteros conserva la flexibilidad matemática aunque ya no exista una cuenta literal de etapas.

La familia también conecta datos con incertidumbre sobre tasas. En inferencia bayesiana, una Gamma puede representar una tasa Poisson desconocida y conduce a una actualización algebraicamente manejable. En un proceso Gamma, sus incrementos positivos modelan daño o lluvia acumulada. Estas historias comparten forma, pero no son intercambiables: una escala temporal, una tasa latente y una cantidad acumulada requieren interpretaciones distintas de los parámetros.

Guía de elección

Buena candidata cuando: una cantidad positiva acumula tiempos, costos o aportes pequeños y muestra asimetría con cola más ligera que una ley de potencia.

Compárala con: Weibull y Lognormal. Compara riesgo, coeficiente de variación y cuantiles; un ajuste parecido no vuelve equivalentes sus mecanismos aditivo y multiplicativo.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.gamma — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
  • Abramowitz, M. & Stegun, I. A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions. Dover.

Distribución Gamma: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Gamma(α,β)X\sim\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(α,xβ)=1Γ(α)γ(α,xβ)F_{X}\left(x\right)=\text{P}\left(\alpha,\frac{x}{\beta}\right)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma\left(\alpha,\frac{x}{\beta}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Γ(α)βαxα−1e−xβf_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\frac{x}{\beta}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=βP−1(α,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\beta \text{P}^{-1}\left(\alpha,u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=βkΓ(k+α)Γ(α)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\beta^k\frac{\Gamma(k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=αβ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\alpha \beta

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=αβ2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\alpha \beta^2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2α\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2}{\sqrt{\alpha}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+6α\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{6}{\alpha}

Mediana paramétrica

Median(X)=(α−1)βif α>1\mathrm{Median}(X)=(\alpha-1)\beta \quad \text{if }\alpha>1

Moda paramétrica

Mode(X)=βP−1(α,12)\mathrm{Mode}(X)=\beta \text{P}^{-1}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)

Información y definiciones adicionales

β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}