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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN GAMMA

Definición de distribución

X∼Gamma(α,β)X\sim\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(α,xβ)=1Γ(α)γ(α,xβ)F_{X}\left(x\right)=\text{P}\left(\alpha,\frac{x}{\beta}\right)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma\left(\alpha,\frac{x}{\beta}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Γ(α)βαxα−1e−xβf_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\frac{x}{\beta}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=βP−1(α,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\beta \text{P}^{-1}\left(\alpha,u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=βkΓ(k+α)Γ(α)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\beta^k\frac{\Gamma(k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=αβ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\alpha \beta

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=αβ2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\alpha \beta^2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2α\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2}{\sqrt{\alpha}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+6α\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{6}{\alpha}

Mediana paramétrica

Median(X)=(α−1)βif α>1\mathrm{Median}(X)=(\alpha-1)\beta \quad \text{if }\alpha>1

Moda paramétrica

Mode(X)=βP−1(α,12)\mathrm{Mode}(X)=\beta \text{P}^{-1}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)

Información y definiciones adicionales

β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}