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Distribución Gamma 3P

La idea en una frase

Gamma 3P añade un umbral de localización a Gamma. Después de loc, la variable conserva una forma positiva y sesgada que puede interpretarse como tiempo basal más variabilidad acumulada.

Soporte e interpretación

El soporte comienza en loc. alpha define forma y beta escala; el sufijo 3P no introduce una nueva función especial, solo un origen adicional.

Un lugar dentro de la familia

Con loc=0 es Gamma de dos parámetros. Cuando alpha es entero se conecta con Erlang desplazada; también puede competir con Weibull y lognormal para tiempos positivos.

Una lectura aplicada

Un loc con sentido puede representar el tiempo antes de que empiece el mecanismo aleatorio. Si solo corrige asimetría, comparar contra Gamma de dos parámetros y Weibull evita sobreinterpretar la frontera.

El mínimo observado no es necesariamente loc; con muestras finitas el estimador del umbral puede ser muy sensible a una sola observación.

Acumulación aleatoria después de una cantidad basal

Gamma 3P escribe la observación como una base fija más una cantidad Gamma positiva. En hidrología podría ser un caudal basal acompañado por aporte aleatorio; en fiabilidad, un tiempo mínimo seguido por daño acumulado.

Esta lectura es distinta de una Gamma truncada por el instrumento. El desplazamiento afirma que toda la población comienza en loc; el truncamiento dice que la población existe por debajo, pero no se observa. Como Gamma ya modifica mucho su forma mediante alpha, añadir un umbral puede crear compensaciones entre parámetros. Un ajuste estable necesita información cerca del límite y una razón externa para creer en él. De otro modo, una Gamma ordinaria o una Generalizada puede ofrecer una descripción más parsimoniosa.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la acumulación Gamma comienza después de un origen físico desconocido pero estimable.

Compárala con: Gamma con origen fijado por conocimiento del dominio. La localización libre suele correlacionarse con la forma y puede volver inestable la extrapolación cerca del umbral.

Referencias

Distribución Gamma 3P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Gamma3P(α,Loc,β)X\sim\mathrm{Gamma_{3P}}\left(\alpha,\text{Loc},\beta\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,Loc∈R,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(α,x−Locβ)=1Γ(α)γ(α,x−Locβ)F_{X}\left(x\right)=\text{P}\left(\alpha,\frac{x-\text{Loc}}{\beta}\right)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma\left(\alpha,\frac{x-\text{Loc}}{\beta}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Γ(α)βα(x−Loc)α−1e−x−Locβf_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} (x-\text{Loc})^{\alpha-1} e^{-\frac{x-\text{Loc}}{\beta}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+βP−1(α,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\beta \text{P}^{-1}\left(\alpha,u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=βkΓ(k+α)Γ(α)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\beta^k\frac{\Gamma(k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)}

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′=Loc+αβ\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\alpha \beta

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2=αβ2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}=\alpha \beta^2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=2α\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2}{\sqrt{\alpha}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=3+6α\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{6}{\alpha}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+(α−1)βif α>1\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+(\alpha-1)\beta \quad \text{if }\alpha>1

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+βP−1(α,12)\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\beta \text{P}^{-1}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)

Información y definiciones adicionales

X~∼Gamma(α,β)\tilde{X}\sim\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}