PLAYGROUND

Distribución Gaussiana Inversa

Qué describe

La Gaussiana Inversa modela un tiempo de primera llegada de un movimiento browniano con deriva positiva. Su nombre es histórico: no es la inversa de una variable normal común.

Es positiva. mu controla la vida media y lambda la concentración alrededor de ella; la cola derecha refleja trayectorias que tardan mucho en alcanzar el umbral.

Historia y nombres

Schrödinger relacionó esta ley con tiempos de primera pasada en 1915 y Wald la hizo visible en análisis secuencial. La conexión con procesos de Wiener es más informativa que el nombre “inversa”.

Relación con otras distribuciones

Está vinculada a Fatigue Life/Birnbaum–Saunders en modelos de fatiga y a Gamma en algunas mezclas. También posee una representación como tiempo de llegada, lo que la distingue de lognormal y Weibull puramente fenomenológicas.

Dónde aparece

  • tiempos de reacción, supervivencia y primeras llegadas
  • hidrología, fiabilidad y modelos de acumulación con umbral

Precauciones al ajustar

No confundir lambda con una tasa de Poisson ni usar la fórmula de otra convención de escala sin traducirla.

El tiempo que tarda una trayectoria en tocar una barrera

Imagine una partícula que avanza con deriva positiva mientras el movimiento browniano la desvía. El primer instante en que alcanza una barrera sigue una Gaussiana Inversa. La variable no es una normal invertida: el adjetivo procede de relaciones históricas entre sus funciones generadoras.

Schrödinger estudió esta ley en 1915 y Wald la volvió central en el análisis secuencial. También se conoce como distribución de Wald. Su interpretación de primera llegada la distingue de Gamma y Weibull cuando existe una trayectoria acumulativa plausible. Con deriva débil, la cola puede alargarse de forma notable. Si los datos son duraciones independientes sin barrera ni acumulación, la buena forma visual no basta para importar la historia browniana.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la variable es un tiempo positivo de primer paso o una duración cuyo sesgo decrece al aumentar la razón media/forma.

Compárala con: Gamma y Lognormal. Compara no solo la densidad, sino la relación entre media y varianza y el mecanismo de cruce de barrera.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.invgauss — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Schrödinger, E. (1915). Zur Theorie der Fall- und Steigversuche an Teilchen mit Brownscher Bewegung. Physikalische Zeitschrift, 16, 289–295.
  • Wald, A. (1947). Sequential Analysis. Wiley.

Distribución Gaussiana Inversa: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼InverseGaussian(μ,λ)X\sim\mathrm{InverseGaussian}\left(\mu,\lambda\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R+,λ∈R+\mu\in\mathbb{R}^{+},\lambda\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(λx(xμ−1))+exp⁡(2λμ)Φ(−λx(xμ+1))F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\sqrt{\frac{\lambda}{x}}\left(\frac{x}{\mu}-1\right)\right)+\exp\left(\frac{2 \lambda}{\mu}\right) \Phi\left(-\sqrt{\frac{\lambda}{x}}\left(\frac{x}{\mu}+1\right)\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=λ2πx3exp⁡[−λ(x−μ)22μ2x]f_{X}\left(x\right)=\sqrt\frac{\lambda}{2 \pi x^3} \exp\left[-\frac{\lambda (x-\mu)^2}{2 \mu^2 x}\right]

Función de punto percentil

SampleX={x0if u2⩽μμ+x0μ2x0if u2⩾μμ+x0\text{Sample}_{X}=\left\{\begin{array}{cl} x_{0} \quad \text{if } u_{2}\leqslant\frac{\mu}{\mu+x_{0}}\\ \frac{\mu^{2}}{x_{0}} \quad \text{if } u_{2}\geqslant \frac{\mu}{\mu+x_{0}} \end{array} \right.

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=μ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\mu

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=μ3λ\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{\mu^3}{\lambda}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=3(μλ)1/2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=3\left(\frac{\mu}{\lambda}\right)^{1/2}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+15μλ\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{15 \mu}{\lambda}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(12)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(\frac{1}{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=μ[(1+9μ24λ2)12−3μ2λ]\mathrm{Mode}(X)=\mu\left[\left(1+\frac{9 \mu^2}{4 \lambda^2}\right)^\frac{1}{2}-\frac{3 \mu}{2 \lambda}\right]

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. Nonetheless, it is possible to generate a random sample from the distribution.
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
x0=μ+μ2[Φ−1(u1)]22λ−μ2λ4μλ[Φ−1(u1)]2+μ2([Φ−1(u1)]2)2x_{0}=\mu+\frac{\mu^2 [\Phi^{-1}\left(u_{1}\right)]^{2}}{2\lambda}-\frac{\mu}{2\lambda}\sqrt{4\mu \lambda [\Phi^{-1}\left(u_{1}\right)]^{2}+\mu^2 ([\Phi^{-1}\left(u_{1}\right)]^{2})^2}
u1:Uniform[0,1] random varibleu_{1}:\text{Uniform[0,1] random varible}
u2:Uniform[0,1] random varibleu_{2}:\text{Uniform[0,1] random varible}