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Distribución F No Central

Qué representa

F No Central es un cociente de una chi-cuadrado no central y una chi-cuadrado central, cada una dividida por sus grados de libertad. lambda representa un efecto bajo una alternativa.

Pista histórica

Se desarrolló para describir estadísticos F cuando la hipótesis nula no es cierta. Por eso su uso central está en potencia, no en ajustar cualquier ratio positivo.

Relaciones que aclaran su uso

Está ligada a chi-cuadrado no central y a la t no central: el cuadrado de una t no central con un grado de libertad en el denominador produce una F no central bajo la parametrización correspondiente.

Ejemplos de datos

  • potencia de ANOVA y pruebas de regresión
  • detección de señales y comparación de energía con una señal presente

Advertencia de modelado

No interpretar lambda como una localización ni reemplazar una F no central por F central al calcular potencia.

La distribución F cuando el efecto no es cero

Bajo la hipótesis nula, el numerador de un estadístico F conduce a una Chi Cuadrado central. Bajo una alternativa con señal sistemática, se vuelve no central y el cociente sigue F No Central. lambda resume el efecto junto con tamaño de muestra, diseño y escala de error.

Por eso la familia es la herramienta natural para potencia en ANOVA y regresión. No existe un valor universal de lambda para un mismo efecto sustantivo: el diseño determina cómo entra en el estadístico. Cuando lambda=0 se recupera F central. Estimar no centralidad después de observar un único estadístico puede producir intervalos muy asimétricos; para planificación es más transparente derivarla de un efecto y diseño propuestos.

Guía de elección

Buena candidata cuando: un cociente de cuadrados medios incluye una alternativa con efecto no nulo, especialmente en cálculos de potencia.

Compárala con: F central bajo la hipótesis nula y simulación cuando el diseño rompe independencia o homocedasticidad. La no centralidad depende del diseño, no solo de los datos observados.

Referencias

Distribución F No Central: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼NonCentralF(λ,n1,n2)X\sim\mathrm{NonCentralF}\left(\lambda,n_{1},n_{2}\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

λ∈R+,n1∈R+,n2∈R+\lambda\in\mathbb{R}^{+},n_{1}\in\mathbb{R}^{+},n_{2}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=∑j=0∞((12λ)jj!e−λ/2)In1x/(n2+n1x)(n12+j,n22)F_{X}\left(x\right)=\sum\limits_{j=0}^\infty\left(\frac{\left(\frac{1}{2}\lambda\right)^j}{j!}e^{-\lambda/2}\right)I_{n_1x/(n_2+n_1x)}\left(\frac{n_1}{2}+j,\frac{n_2}{2}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=∑k=0∞e−λ/2(λ/2)kBeta(n22,n12+k)k!(n1n2)n12+k(n2n2+n1x)n1+n22+kxn1/2−1+kf_{X}\left(x\right)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^k}{ \text{Beta}\left(\frac{n_2}{2},\frac{n_1}{2}+k\right) k!}\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\frac{n_1}{2}+k}\left(\frac{n_2}{n_2+n_1x}\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}+k}x^{n_1/2-1+k}

Función de punto percentil

SampleX=(∑i=1n1(λn1+Φ−1(ui))2)/n1(2P−1(n22,u))/n2\text{Sample}_{X}=\frac{\left(\sum_{i=1}^{n_1}\left(\sqrt{\frac{\lambda}{n_1}}+\Phi^{-1}\left(u_{i}\right)\right)^{2}\right)/n_1}{\left(2\text{P}^{-1}\left(\frac{n_2}{2},u\right)\right)/n_2}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=e−λ/2(n1n2)kΓ(n1/2−k)Γ(n1/2)∑r=0∞(1r!)(λ2)rΓ(n12+r+k)Γ(n12+r)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=e^{-\lambda/2}\left(\frac{n1}{n2}\right)^{k}\frac{\Gamma\left(n_1/2-k\right)}{\Gamma\left(n_1/2\right)}\sum_{r=0}^{\infty }\left(\frac{1}{r!}\right)\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{r}\frac{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}+r+k\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}+r\right)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(12)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(\frac{1}{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. Nonetheless, it is possible to generate a random sample from the distribution.
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
ui:Uniform[0,1] random varibleu_{i}:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}