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Distribución Chi Cuadrado

Qué representa

Chi Square es la suma de los cuadrados de df normales estándar independientes. Su asimetría positiva disminuye al aumentar los grados de libertad, y por eso sirve tanto para variabilidad como para aproximaciones normales.

Pista histórica

Karl Pearson introdujo la distribución en el desarrollo de su estadístico de bondad de ajuste a comienzos del siglo XX. La notación chi-cuadrado quedó ligada a la letra griega de la suma de cuadrados.

Relaciones que aclaran su uso

Es un caso particular de Gamma y, para dos variables chi-cuadrado independientes escaladas, conduce a la distribución F. En una muestra normal, la suma de cuadrados alrededor de la media se separa de la media muestral y tiene una ley chi-cuadrado.

Ejemplos de datos

  • intervalos y pruebas sobre la varianza de una población normal
  • pruebas de independencia y bondad de ajuste en tablas de contingencia

Advertencia de modelado

No tratar df como un parámetro libre cualquiera cuando proviene de un diseño: cambiar grados de libertad cambia también el significado inferencial.

Sumar desviaciones cuadradas crea un nuevo lenguaje

Cada normal estándar aporta una desviación con signo. Al elevarla al cuadrado se pierde el signo y queda una contribución positiva; la suma de varias produce Chi Cuadrado. Esta construcción explica que sus grados de libertad cuenten dimensiones independientes y que la curva se vuelva menos asimétrica al añadirlas.

Pearson convirtió esta ley en el fundamento de su prueba de bondad de ajuste de 1900. También aparece al estimar la varianza de datos normales y como caso Gamma con forma igual a la mitad de los grados de libertad. La aproximación de Pearson exige frecuencias esperadas razonables y categorías fijadas de manera defendible. Un valor del estadístico sin esas condiciones puede parecer preciso mientras compara contra una referencia inadecuada.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la cantidad es una suma de cuadrados normalizados o nace de una construcción teórica de varianzas y grados de libertad.

Compárala con: Gamma para datos positivos sin esa construcción. No elijas Chi-square solo por su sesgo: sus parámetros y su escala vienen impuestos por el mecanismo de suma de cuadrados.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.chi2 — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
  • Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 50(302), 157–175.

Distribución Chi Cuadrado: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼χ2(df)X\sim\mathrm{\chi^{2}}\left(\text{df}\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

df∈N+\text{df}\in\mathbb{N}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=γ(df2, x2)Γ(df2)=P(df2, x2)F_{X}\left(x\right)=\frac{\gamma(\frac{\text{df}}{2},\,\frac{x}{2})}{\Gamma(\frac{\text{df}}{2})}=\text{P}\left(\frac{\text{df}}{2},\,\frac{x}{2}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=12df/2Γ(df/2) xdf/2−1e−x/2f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2^{\text{df}/2}\Gamma(\text{df}/2)}\,x^{\text{df}/2-1} e^{-x/2}

Función de punto percentil

FX−1(u)=2P−1(df2,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=2\text{P}^{-1}\left(\frac{\text{df}}{2},u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=df(df+2)⋯(df+2k−2)=2kΓ(k+df2)Γ(df2)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx= \text{df}(\text{df}+2)\cdots(\text{df}+2k-2)=2^k\frac{\Gamma\left(k+\frac{\text{df}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\text{df}}{2}\right)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=df\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\text{df}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=2df\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=2 \text{df}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=8df\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\sqrt{\frac{8}{\text{df}}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+12df\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{12}{\text{df}}

Mediana paramétrica

Median(X)=2P−1(df2,12)\mathrm{Median}(X)=2\text{P}^{-1}\left(\frac{\text{df}}{2},\frac{1}{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=max(df−2,0)\mathrm{Mode}(X)=\text{max}(\text{df}-2,0)

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}