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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO

Definición de distribución

X∼χ2(df)X\sim\mathrm{\chi^{2}}\left(\text{df}\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

df∈N+\text{df}\in\mathbb{N}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=γ(df2, x2)Γ(df2)=P(df2, x2)F_{X}\left(x\right)=\frac{\gamma(\frac{\text{df}}{2},\,\frac{x}{2})}{\Gamma(\frac{\text{df}}{2})}=\text{P}\left(\frac{\text{df}}{2},\,\frac{x}{2}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=12df/2Γ(df/2) xdf/2−1e−x/2f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2^{\text{df}/2}\Gamma(\text{df}/2)}\,x^{\text{df}/2-1} e^{-x/2}

Función de punto percentil

FX−1(u)=2P−1(df2,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=2\text{P}^{-1}\left(\frac{\text{df}}{2},u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=df(df+2)⋯(df+2k−2)=2kΓ(k+df2)Γ(df2)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx= \text{df}(\text{df}+2)\cdots(\text{df}+2k-2)=2^k\frac{\Gamma\left(k+\frac{\text{df}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\text{df}}{2}\right)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=df\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\text{df}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=2df\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=2 \text{df}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=8df\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\sqrt{\frac{8}{\text{df}}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+12df\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{12}{\text{df}}

Mediana paramétrica

Median(X)=2P−1(df2,12)\mathrm{Median}(X)=2\text{P}^{-1}\left(\frac{\text{df}}{2},\frac{1}{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=max(df−2,0)\mathrm{Mode}(X)=\text{max}(\text{df}-2,0)

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}