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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN PARETO GENERALIZADA

Definición de distribución

X∼GeneralizedPareto(c,μ,σ)X\sim\mathrm{GeneralizedPareto}\left(c,\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

if c⩾0: x∈(μ,∞),if c<0: x∈(−∞,μ−σc)\text{if }c\geqslant 0:\ x\in\left(\mu,\infty\right),\quad \text{if }c<0:\ x\in\left(-\infty,\mu-\frac{\sigma}{c}\right)

Dominio y restricciones de parámetros

c∈R,μ∈R,σ∈R+c\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−(1+cz(x))−1/cF_{X}\left(x\right)=1-(1+c z(x))^{-1/c}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1σ(1+cz(x))−(1/c+1)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\sigma}(1+c z(x))^{-(1/c +1)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ+σ(u−c−1)cF^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu+\frac{\sigma (u^{-c}-1)}{c}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=(−1)kck∑i=0k(ki)(−1)i1−ciif <1k\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\frac{\left(-1\right)^{k}}{c^{k}}\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\frac{\left(-1\right)^{i}}{1-ci}\quad \text{if }<\frac{1}{k}

Media paramétrica

Mean(X)=μ+σμ1′=μ+σ1−cif c<1\mathrm{Mean}(X)=\mu+\sigma\mu'_{1}=\mu+\frac{\sigma}{1-c} \quad \text{if } c<1

Varianza paramétrica

Variance(X)=σ2(μ2′−μ1′2)=σ2(1−c)2(1−2c)if c<1/2\mathrm{Variance}(X)=\sigma^2(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\frac{\sigma^2}{(1-c)^2(1-2c)} \quad \text{if } c<1/2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2(1+c)1−2c(1−3c)if c<1/3\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2(1+c)\sqrt{1-2c}}{(1-3c)} \quad \text{if } c<1/3

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3(1−2c)(2c2+c+3)(1−3c)(1−4c)if c<1/4\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\frac{3(1-2c)(2c^2+c+3)}{(1-3c)(1-4c)} \quad \text{if } c<1/4

Mediana paramétrica

Median(X)=μ\mathrm{Median}(X)=\mu

Moda paramétrica

Mode(X)=μ+σ(2c−1)c\mathrm{Mode}(X)=\mu+\frac{\sigma( 2^{c} -1)}{c}

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−μ)/σz\left(x\right)=\left(x-\mu\right)/\sigma
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}