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Distribución Pareto Generalizada

Qué representa

La Pareto Generalizada, abreviada GPD, modela los excesos por encima de un umbral alto. Su parámetro c resume el régimen de cola y sigma calibra la magnitud del exceso.

Pista histórica

La conexión moderna con teoría de extremos se debe a Pickands y, de forma independiente, a Balkema–de Haan: bajo condiciones amplias, los excesos escalados convergen a una GPD.

Relaciones que aclaran su uso

Es la compañera de la GEV: GEV para máximos por bloques, GPD para excedencias sobre umbral. Para c>0 se aproxima al comportamiento Pareto; para c=0 coincide con una exponencial desplazada.

Ejemplos de datos

  • excesos de caudal, lluvia, viento o contaminación sobre un umbral
  • pérdidas financieras, reclamaciones grandes y riesgo operacional

Advertencia de modelado

El ajuste puede ser muy sensible al umbral y a la dependencia entre excedencias; no extrapolar cuantiles extremos solo porque la GPD tenga un buen ajuste local.

Lo que queda después de cruzar un umbral alto

Pickands, Balkema y de Haan establecieron que, para una amplia clase de poblaciones, los excesos sobre umbrales suficientemente altos se aproximan por una Pareto Generalizada. Es el método de picos sobre umbral, una alternativa a conservar solo un máximo por bloque.

La palabra suficientemente es el problema práctico. Un umbral bajo introduce sesgo porque incluye datos no extremos; uno muy alto deja pocos excesos y gran varianza. La estabilidad de xi, los gráficos de exceso medio y el conocimiento del proceso ayudan a elegir. Los excesos también deben ser aproximadamente independientes. En tormentas o transacciones, varios valores cercanos pueden pertenecer al mismo episodio y requieren declustering antes de interpretar periodos de retorno.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se analizan excesos por encima de un umbral alto y el interés principal son probabilidades o cuantiles extremos.

Compárala con: GEV para máximos por bloques. Revisa estabilidad del parámetro de forma al variar el umbral y dependencia temporal entre excedencias antes de extrapolar.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.genpareto — definición y parametrización

  • Balkema, A. A. & de Haan, L. (1974). Residual life time at great age. The Annals of Probability, 2(5), 792–804.

  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.

  • Pickands, J. (1975). Statistical inference using extreme order statistics. The Annals of Statistics, 3(1), 119–131.

  • Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer.

Distribución Pareto Generalizada: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼GeneralizedPareto(c,μ,σ)X\sim\mathrm{GeneralizedPareto}\left(c,\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

if c⩾0: x∈(μ,∞),if c<0: x∈(−∞,μ−σc)\text{if }c\geqslant 0:\ x\in\left(\mu,\infty\right),\quad \text{if }c<0:\ x\in\left(-\infty,\mu-\frac{\sigma}{c}\right)

Dominio y restricciones de parámetros

c∈R,μ∈R,σ∈R+c\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−(1+cz(x))−1/cF_{X}\left(x\right)=1-(1+c z(x))^{-1/c}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1σ(1+cz(x))−(1/c+1)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\sigma}(1+c z(x))^{-(1/c +1)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ+σ(u−c−1)cF^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu+\frac{\sigma (u^{-c}-1)}{c}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=(−1)kck∑i=0k(ki)(−1)i1−ciif <1k\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\frac{\left(-1\right)^{k}}{c^{k}}\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\frac{\left(-1\right)^{i}}{1-ci}\quad \text{if }<\frac{1}{k}

Media paramétrica

Mean(X)=μ+σμ1′=μ+σ1−cif c<1\mathrm{Mean}(X)=\mu+\sigma\mu'_{1}=\mu+\frac{\sigma}{1-c} \quad \text{if } c<1

Varianza paramétrica

Variance(X)=σ2(μ2′−μ1′2)=σ2(1−c)2(1−2c)if c<1/2\mathrm{Variance}(X)=\sigma^2(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\frac{\sigma^2}{(1-c)^2(1-2c)} \quad \text{if } c<1/2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2(1+c)1−2c(1−3c)if c<1/3\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2(1+c)\sqrt{1-2c}}{(1-3c)} \quad \text{if } c<1/3

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3(1−2c)(2c2+c+3)(1−3c)(1−4c)if c<1/4\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\frac{3(1-2c)(2c^2+c+3)}{(1-3c)(1-4c)} \quad \text{if } c<1/4

Mediana paramétrica

Median(X)=μ\mathrm{Median}(X)=\mu

Moda paramétrica

Mode(X)=μ+σ(2c−1)c\mathrm{Mode}(X)=\mu+\frac{\sigma( 2^{c} -1)}{c}

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−μ)/σz\left(x\right)=\left(x-\mu\right)/\sigma
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}