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Distribución Función Potencia

Qué describe

Power Function es una distribución acotada con CDF que crece como una potencia de la posición relativa en el intervalo. Es una forma simple de sesgo hacia un extremo.

El soporte es [a,b] y alpha > 0. Para alpha=1 es uniforme; valores menores concentran densidad cerca de a y valores mayores cerca de b.

Historia y nombres

La familia aparece en compendios clásicos como un caso elemental de Beta. Su interés es pedagógico y descriptivo: muestra cómo una sola potencia modifica una uniforme.

Relación con otras distribuciones

Es exactamente una Beta con uno de sus parámetros igual a 1, reescalada a [a,b]. También es un caso particular de Kumaraswamy y puede compararse con triangular en intervalos acotados.

Dónde aparece

  • proporciones y tiempos acotados con concentración monótona
  • simulación de muestras sesgadas y ejemplos de transformaciones de la uniforme

Precauciones al ajustar

El nombre “power” se usa para otras familias; especificar soporte y CDF evita ambigüedad.

Una potencia Uniforme que también es Beta

En el intervalo unidad, Power Function coincide con una Beta cuyo segundo parámetro vale uno. Su cuantil se obtiene elevando una Uniforme a una potencia recíproca. Al reescalar entre a y b, esta construcción conserva un soporte finito y concentra masa hacia uno de los extremos según alpha.

Con alpha=1 aparece la Uniforme. Valores mayores empujan observaciones hacia el límite superior y valores menores hacia el inferior. La simplicidad la hace útil como modelo de referencia y generador de simulaciones sesgadas. También la limita: solo ofrece una dirección monótona y no puede formar un pico interior. Una Beta completa o Kumaraswamy resulta más adecuada cuando ambos extremos necesitan control independiente.

Guía de elección

Buena candidata cuando: una variable acotada cambia de forma monotónica hacia un extremo y basta un único parámetro para describir esa concentración.

Compárala con: Beta, de la cual es el caso Beta(a,1) reescalado. Si ambos extremos necesitan comportamiento independiente o aparece una moda interior, usa la familia completa.

Referencias

Distribución Función Potencia: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼PowerFunction(α,a,b)X\sim\mathrm{PowerFunction}\left(\alpha,a,b\right)

Dominio de distribución

x∈[a,b]x\in\left[a,b\right]

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,a∈R,b∈R,a<b\alpha\in\mathbb{R}^{+},a\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R},a < b

Función de distribución acumulada

FX(x)=(x−ab−a)αF_{X}\left(x\right)=\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=α(x−a)α−1(b−a)αf_{X}\left(x\right)=\frac{\alpha(x-a)^{\alpha-1}}{(b-a)^\alpha}

Función de punto percentil

FX−1(u)=[a+u(b−a)]−αF^{-1}_{X}\left(u\right)=\left[a+u(b-a)\right]^{-\alpha}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫abxkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{a}^{b}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=a+bαα+1\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{a+b\alpha}{\alpha+1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=2a2+2abα+b2α(α+1)(α+1)(α+2)−Mean(X)2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{2a^2+2ab\alpha+b^2\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+1)(\alpha+2)}-\mathrm{Mean}(X)^{2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2(1−α)α+2α(α+3)\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=2\left(1-\alpha\right)\sqrt{\frac{\alpha+2}{\alpha\left(\alpha+3\right)}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=6(α3−α2−6α+2)α(α+3)(α+4)+3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\frac{6\left(\alpha^{3}-\alpha^{2}-6\alpha+2\right)}{\alpha\left(\alpha+3\right)\left(\alpha+4\right)}+3

Mediana paramétrica

Median(X)=[a+12(b−a)]−α\mathrm{Median}(X)=\left[a+\frac{1}{2}(b-a)\right]^{-\alpha}

Moda paramétrica

Mode(X)=undefined\mathrm{Mode}(X)=\text{undefined}

Información y definiciones adicionales

a:Location parametera:\text{Location parameter}
b−a:Scale parameterb-a:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}