PLAYGROUND

Distribución Normal Plegada

Perfil

La Normal Plegada es el valor absoluto de una normal posiblemente desplazada. Convierte errores con signo en magnitudes, y por eso puede tener una masa marcada cerca de cero o una forma más unimodal lejos del origen.

Rasgo Lectura
Soporte Solo toma valores no negativos. mu describe la normal antes de plegar y sigma su dispersión; cuando mu=0 se obtiene la seminormal.
Forma Si Z es normal, `

Origen y terminología

La construcción es antigua y aparece en teoría de errores, señales y magnitudes donde el signo se pierde durante la medición. Su interés reside más en la transformación que en un nombre histórico único.

En modelos reales

  • errores absolutos y magnitudes de residuos
  • intensidad de señales cuando una medición registra solo amplitud

Comparaciones

No sustituirla automáticamente por una normal truncada: truncar condiciona a ser positivo; plegar suma probabilidades reflejadas.

Doblar la recta no borra el desplazamiento original

Folded Normal toma el valor absoluto de una Normal con media posiblemente distinta de cero. Los valores negativos se reflejan sobre el eje positivo y se superponen a los positivos. Cuando la media original es cero, el caso resultante es Half Normal.

Si la media se aleja de cero, la magnitud suele concentrarse cerca de su valor absoluto; si es pequeña frente a la escala, el pliegue acumula densidad junto al origen. Solo observar magnitudes hace imposible recuperar el signo original y puede dificultar separar media de dispersión. El modelo es natural para errores absolutos o amplitudes unidimensionales, pero datos recortados en cero no son lo mismo: recortar crea un átomo en el límite, mientras plegar refleja la masa.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se observa el valor absoluto de una medición Normal cuyo centro latente puede ser distinto de cero.

Compárala con: Half Normal si el centro latente es cero y Rice si se observa la magnitud de dos componentes gaussianos. El mecanismo de plegado debe estar presente.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.foldnorm — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Evans, M., Hastings, N. & Peacock, B. (2000). Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley.
  • Leone, F. C., Nelson, L. S. & Nottingham, R. B. (1961). The folded normal distribution. Technometrics, 3(4), 543–550.

Distribución Normal Plegada: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼FoldedNormal(μ,σ)X\sim\mathrm{FoldedNormal}\left(\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R,σ∈R+\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=12[erf(x+μσ2)+erf(x−μσ2)]F_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[\text{erf}\left(\frac{x+\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)+\text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1σ2π e−(x−μ)22σ2+1σ2π e−(x+μ)22σ2f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \,e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }+\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \,e^{ -\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2} }

Función de punto percentil

SampleX(u)=∣μ+σΦ−1(u)∣\text{Sample}_{X}\left(u\right)=\left|\mu+\sigma\Phi^{-1}(u)\right|

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=σ2π e(−μ2/2σ2)+μ(1−2 Φ(−μσ))\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\sigma \sqrt{\tfrac{2}{\pi}} \,e^{(-\mu^2/2\sigma^2)}+\mu\left(1-2\,\Phi(-\tfrac{\mu}{\sigma})\right)

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=μ2+σ2−Mean(X)2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\mu^2+\sigma^2-\mathrm{Mean}(X)^{2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=∣μ+σΦ−1(1/2)∣\mathrm{Median}(X)=\left|\mu+\sigma\Phi^{-1}\left(1/2\right)\right|

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. Nonetheless, it is possible to generate a random sample from the distribution.
μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
ϕ(x):PDF normal standard distribution\phi\left(x\right):\text{PDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}