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Distribución Chi Cuadrado No Central

Retrato

Chi Cuadrado No Central es una suma de cuadrados normales con medias que no tienen que ser cero. El parámetro lambda mide el desplazamiento total y n los grados de libertad.

Huellas históricas

Surgió al estudiar la distribución de estadísticos cuadráticos bajo hipótesis alternativas, donde la media del vector normal no es cero. Es fundamental en potencia de pruebas y modelos de señal.

Dos conexiones útiles

  • La versión central es Gamma y chi-cuadrado ordinaria. La no central se relaciona con F no central y t no central cuando cocientes y raíces de estas sumas aparecen en estadísticos inferenciales.
  • En el límite lambda → 0 la familia conecta suavemente con la central, pero estimar no centralidad a partir de una sola muestra puede ser difícil.

Caso de uso

En una prueba, lambda representa efecto o señal bajo la alternativa, no ruido adicional. La distribución permite calcular probabilidades de rechazo cuando la hipótesis nula no es cierta.

Consejo de diagnóstico

No confundir lambda con el parámetro de tasa de Poisson ni con un loc: cambian mecanismos diferentes.

Los cuadrados conservan la huella de una señal

En Chi Cuadrado central, las normales que se elevan al cuadrado tienen media cero. Si contienen una señal, sus medias dejan de ser cero y la suma de cuadrados se vuelve no central. lambda reúne la energía estandarizada de esos desplazamientos.

La distribución puede verse como una mezcla Poisson de Chi Cuadrado centrales con grados de libertad adicionales. Esta representación ayuda al cálculo y muestra cómo vuelve al caso central cuando lambda llega a cero. En detección de señales y pruebas, describe el estadístico bajo una alternativa y permite calcular potencia. No es una Chi Cuadrado desplazada: la no centralidad cambia el mecanismo antes de sumar, no el origen después.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la variable es una suma de cuadrados de normales con medias no nulas, como en potencia estadística o energía con señal.

Compárala con: Chi-square central cuando la no centralidad es compatible con cero. No interpretes la no centralidad como un simple desplazamiento horizontal.

Referencias

Distribución Chi Cuadrado No Central: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼NonCentralChiSquare(λ,n)X\sim\mathrm{NonCentralChiSquare}\left(\lambda,n\right)

Dominio de distribución

x∈[0,+∞)x\in [0,+\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

λ∈R+,n∈R+\lambda\in\mathbb{R}^{+},n\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−Qn2(λ,x)F_{X}\left(x\right)=1-Q_{\frac{n}{2}}\left(\sqrt{\lambda},\sqrt{x}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=12e−(x+λ)/2(xλ)n/4−1/2In/2−1(λx)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2}e^{-(x+\lambda)/2} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{n/4-1/2}I_{n/2-1}(\sqrt{\lambda x})

Función de punto percentil

SampleX=∑i=1n(λn+Φ−1(ui))2\text{Sample}_{X}=\sum_{i=1}^{n}\left(\sqrt{\frac{\lambda}{n}}+\Phi^{-1}\left(u_{i}\right)\right)^{2}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=2k−1(k−1)!(n+kλ)+∑j=1k−1(k−1)!2j−1(k−j)!(n+jλ)μk−j′\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=2^{k-1}(k-1)!(n+k\lambda)+\sum_{j=1}^{k-1}\frac{(k-1)!2^{j-1}}{(k-j)!}(n+j\lambda )\mu'_{k-j}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=n+λ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=n+\lambda

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=2(n+2λ)\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=2(n+2\lambda)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=23/2(n+3λ)(n+2λ)3/2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2^{3/2}(n+3\lambda)}{(n+2\lambda)^{3/2}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=12(n+4λ)(n+2λ)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\frac{12(n+4\lambda)}{(n+2\lambda)^2}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(12)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(\frac{1}{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. Nonetheless, it is possible to generate a random sample from the distribution.
ui:Uniform[0,1] random varibleu_{i}:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
Iα(x):Modified Bessel function of the first kind of order α∈NI_{\alpha}\left(x\right):\text{Modified Bessel function of the first kind of order }\alpha\in\mathbb{N}