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Distribución Beta

Perfil

La Beta es el modelo de referencia para proporciones y probabilidades desconocidas. En Phitter puede vivir en el intervalo [A,B]; sus dos formas controlan por separado la cercanía al límite inferior y al superior.

Forma Lectura cualitativa
alpha = beta = 1 uniforme
alpha = beta > 1 simétrica, concentrada en el centro
alpha < beta sesgo hacia el extremo inferior
alpha > beta sesgo hacia el extremo superior

Origen y terminología

Su desarrollo está ligado a la función Beta de Euler y a las distribuciones de Pearson. La familia ganó un papel central en inferencia bayesiana porque Beta es conjugada de Bernoulli y Binomial.

En modelos reales

  • incertidumbre sobre una probabilidad de éxito
  • tasas, porcentajes, fracciones de composición y tiempos normalizados

Comparaciones

No interpretar automáticamente alpha y beta como observaciones o probabilidades: son parámetros de forma positivos, y una media cercana a un límite puede venir de cualquiera de los dos mecanismos.

Una familia, muchas geometrías dentro de dos límites

La Beta puede ser plana, simétrica, inclinada, en forma de U o concentrada en un punto interior. Esta variedad surge con solo dos parámetros de forma. Además aparece de manera natural en los estadísticos de orden: el valor que ocupa cierta posición al ordenar una muestra Uniforme tiene una distribución Beta.

Su papel bayesiano es igualmente conocido. Al combinar una probabilidad Beta con resultados Bernoulli o Binomiales, los conteos de éxitos y fracasos actualizan directamente sus parámetros. Esa comodidad no convierte a Beta en una respuesta automática para cualquier porcentaje. Los datos con ceros y unos exactos, la inflación en los límites o una medición cuyo denominador cambia pueden necesitar modelos diferentes. Reescalar a [A,B] tampoco elimina la necesidad de que los límites tengan significado real.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se modela una proporción continua entre límites conocidos y se necesita controlar por separado la forma cerca de cada extremo.

Compárala con: Kumaraswamy y modelos inflados en cero o uno. Valores exactos en los bordes no pertenecen a una Beta ordinaria y deben explicarse, no desplazarse silenciosamente.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.beta — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Evans, M., Hastings, N. & Peacock, B. (2000). Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley.
  • Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
  • Abramowitz, M. & Stegun, I. A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions. Dover.

Distribución Beta: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Beta(α,β,A,B)X\sim\mathrm{Beta}\left(\alpha,\beta,A,B\right)

Dominio de distribución

x∈(A,B)x\in\left(A,B\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+,A∈R,B∈R,A<B\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+},A\in\mathbb{R},B\in\mathbb{R},A < B

Función de distribución acumulada

FX(x)=I(z(x),α,β)F_{X}\left(x\right)=I\left(z(x),\alpha,\beta\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=z(x)α−1(1−z(x))β−1Beta(α,β)(B−A)f_{X}\left(x\right)=\frac{z(x)^{\alpha-1}\left(1-z(x)\right)^{\beta-1}}{\text{Beta}(\alpha,\beta)(B-A)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=A+(B−A)×I−1(u,α,β)F^{-1}_{X}\left(u\right)=A+(B-A)\times I^{-1}\left(u,\alpha,\beta\right)

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫01xkfX~(x)dx\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{1}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=A+(B−A)⋅μ~1′=A+α(B−A)α+β\mathrm{Mean}(X)=A+\left(B-A\right)\cdot\tilde{\mu}'_{1}=A+\frac{\alpha\left(B-A\right)}{\alpha+\beta}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(B−A)2⋅(μ~2′−μ~1′2)=αβ(B−A)2(α+β)2(α+β+1)\mathrm{Variance}(X)=\left(B-A\right)^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\frac{\alpha\beta\left(B-A\right)^{2}}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=2 (β−α)α+β+1(α+β+2)αβ\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=3+6[(α−β)2(α+β+1)−αβ(α+β+2)]αβ(α+β+2)(α+β+3)\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{6[(\alpha-\beta)^2 (\alpha +\beta+1)-\alpha \beta (\alpha+\beta+2)]}{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}

Mediana paramétrica

Median(X)=A+(B−A)×I−1(12,α,β)if α,β>1\mathrm{Median}(X)=A+(B-A)\times I^{-1}\left(\frac{1}{2},\alpha,\beta\right) \quad \text{if }\alpha,\beta>1

Moda paramétrica

Mode(X)=A+(B−A)α−1α+β−2if α,β>1\mathrm{Mode}(X)=A+(B-A)\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2} \quad \text{if }\alpha,\beta>1

Información y definiciones adicionales

X~∼Beta(α,β,0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{Beta}\left(\alpha,\beta,0,1\right)
z(x)=(x−A)/(B−A)z\left(x\right)=\left(x-A\right)/\left(B-A\right)
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
I−1(x,a,b):Inverse of regularized incomplete beta functionI^{-1}\left(x,a,b\right):\text{Inverse of regularized incomplete beta function}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}