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Distribución Topp-Leone

Qué representa

Topp–Leone es una distribución acotada cuya forma puede concentrarse junto al límite inferior o levantar un pico interior. Se diseñó para ofrecer una densidad flexible en una escala de unidad.

Pista histórica

Topp y Leone introdujeron la familia en 1955 como una colección de funciones de frecuencia con forma J. Ha sido retomada en estudios modernos de supervivencia y datos acotados.

Relaciones que aclaran su uso

Es una familia relacionada con Beta y con transformaciones de la uniforme. Las extensiones Topp–Leone-G generan nuevas distribuciones aplicando su CDF a una base, pero no son necesarias para entender la forma básica.

Ejemplos de datos

  • proporciones y variables unitarias con densidad no uniforme
  • modelos de supervivencia o fiabilidad con límites conocidos

Advertencia de modelado

La forma J no implica automáticamente una causa de fallo temprana o tardía; es necesario conectar la densidad con el proceso observado.

La familia J que también puede levantar un pico

Topp y Leone titularon su artículo de 1955 como una familia de funciones en forma de J. En el intervalo unidad, la CDF combina la variable con su reflejo mediante un producto simétrico y después aplica una potencia. Esta simetría algebraica produce una ley sencilla pero flexible.

Para ciertos valores la densidad cae desde un extremo; para otros puede crecer y formar un pico interior. Una transformación cuadrática de su complemento ayuda a relacionarla con Power Function. Su tasa de riesgo puede adoptar curvaturas útiles en fiabilidad acotada. Como el nombre se usa hoy para muchas familias generadas, conviene distinguir la distribución original de una construcción Topp Leone G basada en otra CDF.

Guía de elección

Buena candidata cuando: una proporción acotada muestra una forma J o concentración característica en un extremo que puede resumirse con un parámetro.

Compárala con: Beta y Kumaraswamy. Topp–Leone es parsimoniosa pero menos flexible; inspecciona ambos límites antes de atribuirle estructura a la acumulación observada.

Referencias

Distribución Topp-Leone: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼ToppLeone(α,min,max)X\sim\mathrm{ToppLeone}\left(\alpha,\text{min},\text{max}\right)

Dominio de distribución

x∈(min,max)x\in\left(\text{min},\text{max}\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,min∈R,max∈R\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{min}\in\mathbb{R},\text{max}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=[z(x)(2−z(x))]αF_{X}\left(x\right)=\left[z(x)\left(2-z(x)\right)\right]^{\alpha}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=2αmax−min(1−z(x))[z(x)(2−z(x))]α−1f_{X}\left(x\right)=\frac{2\alpha}{\text{max}-\text{min}}\left(1-z(x)\right)\left[z(x)\left(2-z(x)\right)\right]^{\alpha-1}

Función de punto percentil

FX−1(u)=min+(max−min)(1−1−u1/α)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\left(1-\sqrt{1-u^{1/\alpha}}\right)

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∑i=0k(ki)(−1)iα Beta ⁣(α,1+i2)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^{k}]=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\left(-1\right)^{i}\alpha\,\text{Beta}\!\left(\alpha,1+\tfrac{i}{2}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=min+(max−min)×μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\times \tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(max−min)2(μ~2′−μ~1′2)\mathrm{Variance}(X)=\left(\text{max}-\text{min}\right)^{2}(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=min+(max−min)(1−1−0.51/α)\mathrm{Median}(X)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\left(1-\sqrt{1-0.5^{1/\alpha}}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=min+(max−min)(1−α−12α−1)\mathrm{Mode}(X)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\left(1-\sqrt{\tfrac{\alpha-1}{2\alpha-1}}\right)

Información y definiciones adicionales

X~∼ToppLeone(α,0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{ToppLeone}\left(\alpha,0,1\right)
z(x)=(x−min)/(max−min)z\left(x\right)=\left(x-\text{min}\right)/\left(\text{max}-\text{min}\right)
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}
Mode formula valid when α>1, otherwise Mode(X)=min\text{Mode formula valid when } \alpha>1,\text{ otherwise }\mathrm{Mode}(X)=\text{min}