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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN CAUCHY

Definición de distribución

X∼Cauchy(x0,γ)X\sim\mathrm{Cauchy}\left(x0,\gamma\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,+∞)x\in (-\infty,+\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

x0∈R,γ∈R+x_0\in\mathbb{R},\gamma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1πarctan⁡(x−x0γ)+12F_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1πγ [1+(x−x0γ)2]f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1+\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]}

Función de punto percentil

FX−1(u)=x0+γ tan⁡[π(u−12)]F^{-1}_{X}\left(u\right)=x_0+\gamma\,\tan\left[\pi\left(u-\tfrac{1}{2}\right)\right]

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=undefined\mathrm{Mean}(X)=\text{undefined}

Varianza paramétrica

Variance(X)=undefined\mathrm{Variance}(X)=\text{undefined}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=undefined\mathrm{Skewness}(X)=\text{undefined}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=undefined\mathrm{Kurtosis}(X)=\text{undefined}

Mediana paramétrica

Median(X)=x0\mathrm{Median}(X)=x_0

Moda paramétrica

Mode(X)=x0\mathrm{Mode}(X)=x_0

Información y definiciones adicionales

x0:Location parameterx_0:\text{Location parameter}
γ:Scale parameter\gamma:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}