Distribución Cauchy
Perfil
Cauchy es una distribución simétrica con colas tan pesadas que su media y su varianza no existen. Es una advertencia clásica contra resumir cualquier nube simétrica con una normal.
| Propiedad | Consecuencia |
|---|---|
| simetría | centro en x0 |
colas ~1/x² |
media y varianza indefinidas |
| razón de normales | construcción probabilística natural |
Origen y terminología
La densidad aparece en trabajos de Augustin-Louis Cauchy sobre errores y promedios, aunque también es conocida como distribución de Lorentz en física y como distribución de Breit–Wigner en resonancias.
En modelos reales
- líneas espectrales y resonancias en física
- modelos de errores de razón y pruebas de robustez frente a colas extremas
Comparaciones
No usar la media, la desviación estándar o una prueba basada en momentos como si fueran resúmenes fiables de una muestra Cauchy.
El promedio que se niega a estabilizarse
Si se toman variables Cauchy independientes y se calcula su promedio, el resultado conserva exactamente la misma distribución. Aumentar el tamaño de la muestra no estrecha la curva. No hay contradicción con la ley de los grandes números: falta una de sus piezas esenciales, pues la esperanza de Cauchy no existe.
La distribución estándar también aparece como cociente de dos normales estándar independientes y como perfil de Lorentz en espectroscopia. Estas construcciones explican tanto sus colas como sus usos. En datos reales, una media muestral errática puede señalar colas pesadas, pero no demuestra una ley Cauchy. La mediana y los cuantiles son resúmenes más estables para explorarla.
Guía de elección
Buena candidata cuando: se necesita una ley simétrica con extremos muy frecuentes y la localización, no la media, es la cantidad central de interés.
Compárala con: t de Student con grados de libertad estimados. Cauchy fija el caso extremo ν=1; media y varianza muestrales no se estabilizan como lo hacen bajo una Normal.
Referencias
- Referencia de SciPy: scipy.stats.cauchy — definición y parametrización
- Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
- Evans, M., Hastings, N. & Peacock, B. (2000). Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley.
- Cauchy, A. L. (1853). Sur les résultats moyens d’observations de même nature et sur les résultats les plus probables. Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 37, 611–618.