Distribución F

La idea en una frase

La distribución F es el cociente de dos chi-cuadrado independientes, cada uno dividido por sus grados de libertad. Por construcción compara dos fuentes de variabilidad y solo toma valores positivos.

Soporte e interpretación

df1 y df2 controlan los grados de libertad del numerador y denominador. La cola puede ser muy pesada cuando el denominador tiene pocos grados de libertad.

Un lugar dentro de la familia

Es una razón de chi-cuadrados y, al invertirla, se obtiene otra F con los grados de libertad intercambiados. La t de Student al cuadrado es F con un grado de libertad en el numerador.

Una lectura aplicada

En un ANOVA, la estadística F compara variación explicada con variación residual después de escalar por sus grados de libertad. La distribución teórica depende del diseño y de los supuestos normales, independientes y homocedásticos.

No ajustar df1 y df2 como si fueran parámetros de forma ordinarios cuando proceden de un diseño experimental o de una regresión.

Una comparación de variaciones, no solo otra cola derecha

La F nació de cocientes de variabilidad. En ANOVA y regresión, el numerador resume variación explicada y el denominador ofrece una referencia de ruido, cada uno ajustado por sus grados de libertad. Un valor grande sugiere que el primer componente domina más de lo esperado bajo la hipótesis nula.

Hay una simetría útil: si una variable sigue F con grados d1 y d2, su recíproco sigue F con los grados intercambiados. La distribución también es el cuadrado de una t de Student con el grado apropiado cuando el numerador tiene un solo grado de libertad. Estas relaciones sirven para comprobar cálculos y muestran por qué estimar una F libre sobre datos positivos no conserva automáticamente una interpretación de prueba estadística.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la variable es el cociente de dos varianzas o cuadrados medios independientes con grados de libertad conocidos.

Compárala con: Beta Prime para un cociente positivo sin esa derivación. La fuerte asimetría con pocos grados de libertad afecta mucho los cuantiles críticos.

Referencias

• Referencia de SciPy: scipy.stats.f — definición y parametrización
• Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
• Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
• Fisher, R. A. (1924). On a distribution yielding the error functions of several well known statistics. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 2, 805–813.