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Distribución Gamma Inversa

Qué representa

Gamma Inversa modela una variable positiva cuyo recíproco sigue una Gamma. Su cola derecha es pesada y alpha determina qué momentos existen, mientras beta fija la escala inversa.

Pista histórica

La familia es la transformación recíproca de Gamma y se consolidó en inferencia bayesiana como distribución conjugada para la varianza de una normal bajo parametrizaciones de escala o precisión.

Relaciones que aclaran su uso

Si X es Gamma, 1/X es Gamma inversa. Es pariente de Beta prime y F mediante razones de Gammas y chi-cuadrados; la elección de parametrización de beta cambia la lectura de precisión.

Ejemplos de datos

  • distribuciones previas para varianzas y escalas
  • tiempos de vida y fenómenos positivos con eventos extremos grandes

Advertencia de modelado

Comprobar la existencia del momento de interés antes de interpretar una media posterior o de usarla en una pérdida cuadrática.

Una Gamma al otro lado del recíproco

Si una precisión o tasa sigue Gamma, su recíproco sigue Gamma Inversa. Esta construcción explica su presencia histórica como distribución a priori para varianzas y escalas positivas. La masa puede concentrarse lejos de cero mientras una cola de potencia permite valores muy grandes.

Esa cola impone condiciones claras. La media solo existe para valores de alpha mayores que uno y la varianza requiere superar dos. Ajustar la densidad sin revisar estos límites puede producir un resumen numérico que el modelo no define. En análisis bayesiano, la conveniencia conjugada tampoco garantiza una buena representación previa: una elección aparentemente difusa puede asignar masa inesperada cerca de cero o en escalas enormes.

Guía de elección

Buena candidata cuando: una cantidad positiva es el recíproco de una Gamma o representa una escala/varianza con cola derecha pesada.

Compárala con: Lognormal y Pareto. Verifica qué momentos existen para la forma estimada; la media o varianza pueden no ser resúmenes válidos.

Referencias

Distribución Gamma Inversa: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼InverseGamma(α,β)X\sim\mathrm{InverseGamma}\left(\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−γ(α,β/x)Γ(α)=1−P(α,βx)F_{X}\left(x\right)=1-\frac{\gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)}=1-\text{P}\left(\alpha,\frac{\beta}{x}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=βαΓ(α)x−α−1exp⁡(−βx)f_{X}\left(x\right)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha-1} \exp\left(-\frac{\beta}{x}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=βP−1(α,1−u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\frac{\beta}{\text{P}^{-1}\left(\alpha,1-u\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=Γ(α−k)Γ(α)=1(α−1)⋯(α−k)if α>k\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{\Gamma(\alpha-k)}{\Gamma(\alpha)}=\frac{1}{(\alpha-1) \cdots (\alpha-k)}\quad \text{if } \alpha>k

Media paramétrica

Mean(X)=βμ~1′\mathrm{Mean}(X)=\beta\tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=β2(μ~2′−μ~1′2)\mathrm{Variance}(X)=\beta^{2}(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=βP−1(α,12)\mathrm{Median}(X)=\frac{\beta}{\text{P}^{-1}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=βα+1\mathrm{Mode}(X)=\frac{\beta}{\alpha+1}

Información y definiciones adicionales

X~∼InverseGamma(α,1)\tilde{X}\sim\mathrm{InverseGamma}\left(\alpha,1\right)
β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}