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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

Definición de distribución

X∼LogNormal(μ,σ)X\sim\mathrm{LogNormal}\left(\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R,σ∈R+\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=12[1+erf⁡(ln⁡(x)−μσ2)]F_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac{\ln (x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1xσ2π exp⁡(−(ln⁡(x)−μ)22σ2)f_{X}\left(x\right)=\frac 1 {x\sigma\sqrt{2\pi}}\ \exp\left(-\frac{\left(\ln\left(x\right) -\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=exp⁡(μ+2σ2erf⁡−1(2u−1))F^{-1}_{X}\left(u\right)=\exp(\mu+\sqrt{2\sigma^2}\operatorname{erf}^{-1}(2u-1))

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=ekμ+k2σ2/2\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=eμ+σ22\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=e2μ+σ2(eσ2−1)\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=(eσ2+2)eσ2−1\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=(e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=e4σ2+2e3σ2+3e2σ2−3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=e^{4\sigma^2}+2e^{3\sigma^2}+3e^{2\sigma^2}-3

Mediana paramétrica

Median(X)=exp⁡(μ)\mathrm{Median}(X)=\exp(\mu)

Moda paramétrica

Mode(X)=exp⁡(μ−σ2)\mathrm{Mode}(X)=\exp(\mu-\sigma^2)

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}