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Distribución Lognormal

Qué representa

Lognormal describe una variable positiva cuyo logaritmo es normal. Es el modelo clásico para cantidades formadas por muchos factores multiplicativos, no por la suma de pequeños efectos.

Pista histórica

El modelo fue sistematizado por Gibrat en el estudio de crecimiento proporcional y recibió tratamiento completo en el libro de Aitchison y Brown.

Relaciones que aclaran su uso

Es un límite de Generalized Gamma y aparece como límite de ciertas familias multiplicativas. Se parece a Gamma y Weibull en el centro, pero su cola es más pesada que la Weibull y más ligera que una Pareto con índices comparables.

Ejemplos de datos

  • ingresos, riqueza, tamaños de empresas y ciudades
  • concentración de partículas, tiempos de reparación y variables biológicas positivas

Advertencia de modelado

No transformar a logaritmos y luego ignorar ceros, censura o sesgo de retransformation: volver de la escala log a la original requiere cuidado.

La aritmética cambia cuando los efectos se multiplican

Sumar pequeños efectos conduce con frecuencia a una Normal; multiplicar factores positivos conduce, bajo una lógica paralela, a una Lognormal. En escala logarítmica los productos se convierten en sumas. Por eso la familia aparece en tamaños de partículas, concentraciones y magnitudes sometidas a crecimiento proporcional.

La mediana es e^mu en la forma sin desplazamiento, mientras la media queda por encima y depende también de la dispersión. El promedio geométrico estima mejor el centro multiplicativo. Una cola derecha extensa no prueba lognormalidad: Pareto y otras leyes pesadas pueden parecer similares en muestras moderadas, pero extrapolan de manera muy distinta. Comparar logaritmos, cuantiles altos y mecanismos de generación evita que el histograma decida por sí solo.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los valores positivos resultan de factores multiplicativos y sus logaritmos son aproximadamente simétricos.

Compárala con: Gamma y Weibull. Revisa residuos en escala logarítmica y cuantiles altos; que los datos sean positivos y sesgados no basta para concluir Lognormal.

Referencias

Distribución Lognormal: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼LogNormal(μ,σ)X\sim\mathrm{LogNormal}\left(\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R,σ∈R+\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=12[1+erf⁡(ln⁡(x)−μσ2)]F_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac{\ln (x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1xσ2π exp⁡(−(ln⁡(x)−μ)22σ2)f_{X}\left(x\right)=\frac 1 {x\sigma\sqrt{2\pi}}\ \exp\left(-\frac{\left(\ln\left(x\right) -\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=exp⁡(μ+2σ2erf⁡−1(2u−1))F^{-1}_{X}\left(u\right)=\exp(\mu+\sqrt{2\sigma^2}\operatorname{erf}^{-1}(2u-1))

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=ekμ+k2σ2/2\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=eμ+σ22\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=e2μ+σ2(eσ2−1)\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=(eσ2+2)eσ2−1\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=(e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=e4σ2+2e3σ2+3e2σ2−3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=e^{4\sigma^2}+2e^{3\sigma^2}+3e^{2\sigma^2}-3

Mediana paramétrica

Median(X)=exp⁡(μ)\mathrm{Median}(X)=\exp(\mu)

Moda paramétrica

Mode(X)=exp⁡(μ−σ2)\mathrm{Mode}(X)=\exp(\mu-\sigma^2)

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}