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Distribución T Student No Central

La idea en una frase

T Student No Central añade un desplazamiento al numerador normal de la t de Student. Es la distribución de un estadístico t bajo una alternativa, donde lambda expresa tamaño de efecto.

Soporte e interpretación

Vive en toda la recta. n son grados de libertad, lambda es la no centralidad y loc/scale son transformaciones adicionales de la implementación.

Un lugar dentro de la familia

Con lambda=0 se reduce a t central; al cuadrarla se relaciona con F no central. La t central converge a normal cuando n crece, y la no central conserva ese vínculo con un desplazamiento apropiado.

Una lectura aplicada

En planificación experimental, la t no central convierte una diferencia estandarizada en probabilidad de rechazo. Su lambda depende de la alternativa y del error estándar, no es meramente un centro visual.

No tratar lambda como loc ni comparar la media de una t no central con la de la t central sin verificar existencia de momentos.

La t se desplaza porque la hipótesis alternativa es verdadera

La t central supone que la media del numerador coincide con el valor planteado por la hipótesis nula. Cuando existe una diferencia real, ese numerador normal queda desplazado antes de dividir por la escala estimada. El resultado es t No Central y lambda representa el efecto estandarizado amplificado por el tamaño muestral.

Esta ley sustenta cálculos de potencia, tamaños de muestra e intervalos para tamaños de efecto. Su cuadrado se relaciona con una F No Central cuyo numerador tiene un grado de libertad. No debe confundirse con t Student 3P: sumar una localización a una t después de generarla no reproduce la dependencia entre señal y estimación de varianza que define la no centralidad.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se estudia un estadístico t bajo una alternativa con media estandarizada no nula, por ejemplo para potencia o cobertura.

Compárala con: t central bajo la hipótesis nula. La no centralidad no es el parámetro de ubicación de una t ordinaria y no debe interpretarse como tal.

Referencias

Distribución T Student No Central: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼NonCentralTStudent(λ,n,Loc,Sc)X\sim\mathrm{NonCentralTStudent}\left(\lambda,n,\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

λ∈R,n∈R+,Sc∈R+,Loc∈R\lambda\in\mathbb{R},n\in\mathbb{R}^{+},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)={12∑j=0∞1j!(−λ2)je−λ22Γ(j+12)πIn/(n+z(x)2)(n2,j+12)if  z(x)≥01−12∑j=0∞1j!(−λ2)je−λ22Γ(j+12)πIn/(n+z(x)2)(n2,j+12)if  z(x)<0F_{X}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{2}\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}(-\lambda\sqrt{2})^je^{\frac{-\lambda^2}{2}}\frac{\Gamma(\frac{j+1}{2})}{\sqrt{\pi}}I_{n/(n+z(x)^2)}\left (\frac{n}{2},\frac{j+1}{2}\right ) & \text{if } \ z(x)\ge 0 \\ 1-\frac{1}{2}\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}(-\lambda\sqrt{2})^je^{\frac{-\lambda^2}{2}}\frac{\Gamma(\frac{j+1}{2})}{\sqrt{\pi}}I_{n/(n+z(x)^2)}\left (\frac{n}{2},\frac{j+1}{2}\right ) & \text{if } \ z(x) < 0\end{array} \right.

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Scnn/2Γ(n+1)2neλ2/2(n+z(x)2)n/2Γ(n/2)×{2λz(x)1F1(n2+1,32,λ2z(x)22(n+z(x)2))(n+z(x)2)Γ(n+12)−1F1(n+12,12,λ2z(x)22(n+z(x)2))n+z(x)2Γ(n2+1)}f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\text{Sc}}\frac{n^{n/2}\Gamma\left(n+1\right)}{2^{n}e^{\lambda^{2}/2}\left(n+z(x)^{2}\right)^{n/2}\Gamma\left(n/2\right)}\times \\ \left\{ \frac{\sqrt{2}\lambda z(x)_{1}F_{1}\left(\frac{n}{2}+1,\frac{3}{2},\frac{\lambda^{2}z(x)^{2}}{2\left(n+z(x)^{2}\right)}\right)}{\left(n+z(x)^{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} - \frac{_{1}F_{1}\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2},\frac{\lambda^{2}z(x)^{2}}{2\left(n+z(x)^{2}\right)}\right)}{\sqrt{n+z(x)^{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \right\}

Función de punto percentil

SampleX=Loc+Sc(λ+Φ−1(u))(2P−1(n2,u))/n\text{Sample}_{X}=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{\left(\lambda+\Phi^{-1}\left(u\right)\right)}{\left(\sqrt{2\text{P}^{-1}\left(\frac{n}{2},u\right)}\right)/n}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=e−λ2/2nπΓ(n/2)Γ(n−k2)nk/2∑r=0∞λr2r/2r!Γ(r+k+12)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{e^{-\lambda^{2}/2}}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(n/2\right)}\Gamma\left(\frac{n-k}{2}\right)n^{k/2}\sum_{r=0}^{\infty }\frac{\lambda^{r}2^{r/2}}{r!}\Gamma\left(\frac{r+k+1}{2}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Scμ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2(μ~2′−μ~1′2)\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(12)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(\frac{1}{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. Nonetheless, it is possible to generate a random sample from the distribution.
X~∼NonCentralTStudent(λ,n,0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{NonCentralTStudent}\left(\lambda,n,0,1\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
Iα(x):Modified Bessel function of the first kind of order α∈NI_{\alpha}\left(x\right):\text{Modified Bessel function of the first kind of order }\alpha\in\mathbb{N}
1F1(a,b,z):Kummer’s confluent hypergeometric function_{1}F_{1}(a,b,z):\text{Kummer's confluent hypergeometric function}