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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN LOGISTICA

Definición de distribución

X∼Logistic(μ,σ)X\sim\mathrm{Logistic}\left(\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R,σ∈R+\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=11+e−(x−μ)/σF_{X}\left(x\right)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\sigma}}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=e−(x−μ)/σσ(1+e−(x−μ)/σ)2f_{X}\left(x\right)=\frac{e^{-(x-\mu)/\sigma}} {\sigma\left(1+e^{-(x-\mu)/\sigma}\right)^2}

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ+σlog⁡(u1−u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu+\sigma \log\left(\frac{u}{1-u}\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=μ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\mu

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=σ2π23\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{\sigma^2 \pi^2}{3}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+6/5\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+6/5

Mediana paramétrica

Median(X)=μ\mathrm{Median}(X)=\mu

Moda paramétrica

Mode(X)=μ\mathrm{Mode}(X)=\mu

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}