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Distribución Logistica

Qué describe

La Logística es una distribución simétrica con colas algo más pesadas que la normal y una CDF sigmoidea cerrada. Es la ley continua detrás de muchos modelos de crecimiento y de clasificación logística.

Vive en toda la recta. mu es el punto de simetría y sigma controla escala; su función de riesgo tiene una forma no constante y acotada.

Historia y nombres

Pierre-François Verhulst introdujo la curva logística en 1838 para modelar crecimiento poblacional limitado. La distribución logística apareció después al interpretar esa curva como CDF.

Relación con otras distribuciones

Es la base del modelo de regresión logística, donde la CDF convierte una combinación lineal en probabilidad. Se parece a Normal y Laplace, pero tiene una función cuantil elemental y colas intermedias.

Dónde aparece

  • crecimiento poblacional y curvas de saturación
  • regresión logística y errores simétricos con colas moderadas

Precauciones al ajustar

No elegir logística solo porque el gráfico tenga forma de S: la escala y la cola deben concordar con el proceso que generó los datos.

De una curva de población a los logaritmos de odds

Verhulst introdujo una curva sigmoidea para crecimiento limitado mucho antes de que la Logística se volviera una distribución habitual. La derivada de esa curva acumulada produce la densidad simétrica. Otra construcción es reveladora: el logit de una variable Uniforme sigue una Logística estándar.

Esta identidad conecta la distribución con los odds y ayuda a entender la regresión logística, aunque el modelo de regresión especifica una probabilidad condicional y no exige que la variable respuesta continua sea logística. Frente a la Normal, la Logística coloca algo más de masa en las colas y tiene una CDF elemental. Esa comodidad computacional debe acompañarse de una comparación de cuantiles, no solo de centros y varianzas.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se necesita una distribución simétrica sobre toda la recta con colas algo más pesadas que la Normal y una CDF sigmoide sencilla.

Compárala con: Normal y Hyperbolic Secant. Iguala primero las varianzas al comparar escalas; el parámetro scale logístico no es una desviación estándar.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.logistic — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Verhulst, P.-F. (1838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Correspondance Mathématique et Physique, 10, 113–121.
  • McCullagh, P. & Nelder, J. A. (1989). Generalized Linear Models, 2nd ed. Chapman & Hall.

Distribución Logistica: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Logistic(μ,σ)X\sim\mathrm{Logistic}\left(\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R,σ∈R+\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=11+e−(x−μ)/σF_{X}\left(x\right)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/\sigma}}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=e−(x−μ)/σσ(1+e−(x−μ)/σ)2f_{X}\left(x\right)=\frac{e^{-(x-\mu)/\sigma}} {\sigma\left(1+e^{-(x-\mu)/\sigma}\right)^2}

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ+σlog⁡(u1−u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu+\sigma \log\left(\frac{u}{1-u}\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=μ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\mu

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=σ2π23\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{\sigma^2 \pi^2}{3}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+6/5\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+6/5

Mediana paramétrica

Median(X)=μ\mathrm{Median}(X)=\mu

Moda paramétrica

Mode(X)=μ\mathrm{Mode}(X)=\mu

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}