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Distribución F 4P

Por qué existe

F 4P es una transformación desplazada y reescalada de la F. Puede describir una razón positiva medida desde un umbral distinto de cero, aunque ya no tiene automáticamente la interpretación de un cociente de varianzas.

Nombre alternativo

También se encuentra como four-parameter F distribution o F desplazada. “F no central” es otra extensión y no un sinónimo.

Construcciones y límites

Con loc=0 y scale=1 se recupera la F. No es equivalente a una F no central: la no centralidad cambia la distribución del numerador, mientras que aquí se transforma la escala observada.

Aplicaciones

En una aplicación de medición puede ser útil si existe un cero instrumental y una unidad específica. Para un estadístico F inferencial, liberar loc o scale requiere una justificación distinta de la teoría estándar.

Un ajuste con loc libre puede perder la interpretación de ratio y confundir la comparación con una F de dos parámetros.

La forma F separada de la prueba F

F 4P desplaza y reescala una variable F estándar. El resultado conserva dos controles de forma y una cola derecha, pero deja de ser directamente el cociente de dos Chi Cuadrado divididas por sus grados de libertad.

Esta versión puede describir una magnitud positiva medida desde un umbral distinto de cero. No debe usarse para leer valores p de ANOVA o regresión: las tablas F clásicas suponen localización cero, escala uno y grados definidos por el diseño. La localización, la escala y ambos grados pueden competir durante el ajuste. Si el objetivo es descripción y no inferencia clásica, conviene comunicar cuantiles observables y llamar a los grados parámetros de forma para no sugerir un tamaño muestral inexistente.

Guía de elección

Buena candidata cuando: una forma F aparece sobre una escala trasladada y reescalada con límites interpretables.

Compárala con: F estándar antes de liberar localización y escala. Para inferencia clásica, desplazar la F rompe la interpretación habitual de los grados de libertad.

Referencias

Distribución F 4P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼F4P(df1,df2,Loc,Sc)X\sim\mathrm{F_{4P}}\left(\text{df}_{1},\text{df}_{2},\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in\left[\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

df1∈R+,df2∈R+,Loc∈R,Sc∈R+\text{df}_{1}\in\mathbb{R}^{+},\text{df}_{2}\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Idf1z(x)/(df1z(x)+df2)(df12,df22)F_{X}\left(x\right)=I_{\text{df}_{1} z(x)/(\text{df}_{1} z(x)+\text{df}_{2})}\left (\tfrac{\text{df}_{1}}{2},\tfrac{\text{df}_{2}}{2}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Sc×(df1z(x))df1df2df2(df1z(x)+df2)df1+df2z(x) Beta(df12,df22)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\text{Sc}}\times \frac{\sqrt{\frac{(\text{df}_{1} z(x))^{\text{df}_{1}} \text{df}_{2}^{\text{df}_{2}}}{(\text{df}_{1} z(x)+\text{df}_{2})^{\text{df}_{1}+\text{df}_{2}}}}}{z(x)\,\text{Beta}\left(\frac{\text{df}_{1}}{2},\frac{\text{df}_{2}}{2}\right)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+Scdf2×I−1(u,df12,df22)df1×(1−I−1(u,df12,df22))F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{\text{df}_{2}\times I^{-1}\left(u,\frac{\text{df}_{1}}{2},\frac{\text{df}_{2}}{2}\right)}{\text{df}_{1}\times \left(1-I^{-1}\left(u,\frac{\text{df}_{1}}{2},\frac{\text{df}_{2}}{2}\right)\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=Γ(df12+k)Γ(df12)Γ(df22−k)Γ(df22)(df2df1)kif df2>2k\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{\Gamma\left(\tfrac{\text{df}_{1}}{2}+k\right) }{\Gamma\left(\tfrac{\text{df}_{1}}{2}\right)}\frac{\Gamma\left(\tfrac{\text{df}_{2}}{2}-k\right) }{\Gamma\left(\tfrac{\text{df}_{2}}{2}\right) }\left(\frac{\text{df}_{2}}{\text{df}_{1}}\right)^k \quad \text{if }\text{df}_{2} > 2k

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Scμ~1′=Loc+Scdf2df2−2if df2>2\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{\text{df}_{2}}{\text{df}_{2}-2} \quad \text{if }\text{df}_{2} > 2

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2(μ~2′−μ~1′2)=Sc22 df22 (df1+df2−2)df1(df2−2)2(df2−4)if df2>4\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\text{Sc}^{2}\frac{2\,\text{df}_{2}^2\,(\text{df}_{1}+\text{df}_{2}-2)}{\text{df}_{1} (\text{df}_{2}-2)^2 (\text{df}_{2}-4)} \quad \text{if }\text{df}_{2} > 4

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=(2df1+df2−2)8(df2−4)(df2−6)df1(df1+df2−2)if df2>6\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{(2 \text{df}_{1}+\text{df}_{2}-2) \sqrt{8 (\text{df}_{2}-4)}}{(\text{df}_{2}-6) \sqrt{\text{df}_{1} (\text{df}_{1}+\text{df}_{2} -2)}}\quad \text{if }\text{df}_{2} > 6

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=3(8+(df2−6)×Skewness(X)2)2df2−16+3if df2>8\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=\frac{3\left(8+\left(\text{df}_{2}-6\right)\times \mathrm{Skewness}(X)^{2}\right)}{2\text{df}_{2}-16}+3\quad \text{if }\text{df}_{2} > 8

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Scdf2×I−1(12,df12,df22)df1×(1−I−1(12,df12,df22))\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{\text{df}_{2}\times I^{-1}\left(\frac{1}{2},\frac{\text{df}_{1}}{2},\frac{\text{df}_{2}}{2}\right)}{\text{df}_{1}\times \left(1-I^{-1}\left(\frac{1}{2},\frac{\text{df}_{1}}{2},\frac{\text{df}_{2}}{2}\right)\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+Scdf2(df1−2)df1(df2+2)if df1>2\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{\text{df}_{2}\left(\text{df}_{1}-2\right)}{\text{df}_{1}\left(\text{df}_{2}+2\right)} \quad \text{if }\text{df}_{1} > 2

Información y definiciones adicionales

X~∼F(df1,df2)\tilde{X}\sim\mathrm{F}\left(\text{df}_{1},\text{df}_{2}\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
I−1(x,a,b):Inverse of regularized incomplete beta functionI^{-1}\left(x,a,b\right):\text{Inverse of regularized incomplete beta function}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}