PLAYGROUND

Distribución Exponencial

Qué describe

La Exponencial modela el tiempo hasta el próximo evento de un proceso de Poisson con tasa constante. Su rasgo distintivo es la falta de memoria: el tiempo ya esperado no cambia la distribución del tiempo restante.

Es positiva y decrece desde cero. lambda es una tasa, no una escala: aumentar la tasa reduce el tiempo típico y cambia la unidad natural de interpretación.

Historia y nombres

Su forma aparece en la teoría de colas y en los primeros modelos de llamadas y llegadas. Es el caso continuo más simple de un tiempo de espera con riesgo instantáneo constante.

Relación con otras distribuciones

Es Gamma con forma 1 y Erlang con k=1. Si se combinan tiempos exponenciales, se obtiene Erlang; si se cuentan eventos antes de un tiempo fijo, se obtiene Poisson. También es el único tiempo de vida continuo con tasa de riesgo constante.

Dónde aparece

  • interarribos en procesos de Poisson
  • tiempos de vida o espera con riesgo instantáneo constante

Precauciones al ajustar

Un ajuste exponencial puede parecer razonable en un histograma y fallar en la tasa de riesgo; revisar la supervivencia o la función de riesgo cuando el tiempo de exposición importa.

Un reloj que no envejece

Suponga que un componente lleva cien horas funcionando. Bajo un modelo Exponencial, su tiempo restante tiene la misma distribución que cuando era nuevo. Esa falta de memoria no significa que el componente recuerde menos; significa que la tasa instantánea de fallo permanece constante.

La propiedad encaja con el próximo arribo de un proceso Poisson homogéneo y con ciertos mecanismos de decaimiento, pero rara vez describe todo el ciclo de vida de una máquina. El desgaste produce riesgo creciente y los defectos iniciales pueden producir riesgo decreciente. Weibull permite ambos comportamientos. La Exponencial sigue siendo un punto de referencia poderoso: si falla, la dirección de la desviación cuenta una historia sobre envejecimiento, selección o una tasa que cambia con el tiempo.

Guía de elección

Buena candidata cuando: el tiempo hasta el próximo evento tiene riesgo constante y el proceso no conserva memoria de cuánto se ha esperado.

Compárala con: Weibull y Gamma. Una pendiente sistemática en el riesgo o en un gráfico de supervivencia exponencial indica que la propiedad sin memoria es demasiado rígida.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.expon — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
  • Erlang, A. K. (1909). The theory of probabilities and telephone conversations. Nyt Tidsskrift for Matematik B, 20, 33–39.

Distribución Exponencial: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Exponential(λ)X\sim\mathrm{Exponential}\left(\lambda\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

λ∈R+\lambda\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−e−λxF_{X}\left(x\right)=1-e^{-\lambda x}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=λe−λxf_{X}\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}

Función de punto percentil

FX−1(u)=−ln⁡(1−u)λF^{-1}_{X}\left(u\right)=-\frac{\ln(1-u)}{\lambda}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xnfX(x)dx=k!λk\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{n}f_{X}\left(x\right)dx=\frac{k!}{\lambda^{k}}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=1λ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{1}{\lambda}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=1λ2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{1}{\lambda^2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=2

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=9\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=9

Mediana paramétrica

Median(X)=ln⁡2λ\mathrm{Median}(X)=\frac{\ln 2}{\lambda}

Moda paramétrica

Mode(X)=0\mathrm{Mode}(X)=0

Información y definiciones adicionales

λ:Inverse of scale parameter\lambda:\text{Inverse of scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}