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Distribución Johnson SU

Vista rápida

Johnson SU transforma una normal mediante el seno hiperbólico inverso y produce una variable en toda la recta. Su objetivo es absorber sesgo y curtosis que la normal no puede representar.

Si vienes de otra distribución

SU es la familia no acotada del sistema Johnson; SB es la versión acotada y SL se especializa en variables positivas log-transformables. La flexibilidad compite con familias como skew-normal y generalized normal.

Historia y terminología

Johnson propuso en 1949 los sistemas SB, SU y SL como una estrategia sistemática para aproximar distribuciones mediante transformaciones normales.

Una situación conocida

Es una buena candidata cuando la variable puede tomar valores de ambos signos y la forma presenta colas distintas de una normal. En calibración, la transformación a una normal latente puede simplificar simulación y cuantiles.

Para ajustar con criterio

Con cuatro parámetros puede ajustar muy bien muestras pequeñas por razones geométricas; validar con datos reservados y no solo con el histograma.

Una transformación hiperbólica para colas y sesgo

Johnson SU usa el seno hiperbólico para convertir una Normal en una variable sin límites finitos. Las letras SU indican el sistema unbounded. Dos parámetros transforman sesgo y curtosis, mientras otros dos fijan localización y escala.

La familia puede producir colas mucho más pesadas que la Normal y asimetría en cualquier dirección. Es una herramienta de ajuste flexible, no una explicación física universal. Su par SB cubre variables acotadas y la Lognormal ocupa la transición dentro del sistema original de Johnson. Una ventaja práctica es revisar la Normalidad después de aplicar la transformación estimada. Si esa escala aún muestra estructura, la flexibilidad de cuatro parámetros no ha resuelto la dependencia o la mezcla subyacente.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los datos ocupan toda la recta y requieren simultáneamente asimetría y control de colas mediante una transformación normal.

Compárala con: Skew-normal, t sesgada o Generalized Normal según el rasgo que falte. Comprueba que la flexibilidad de cuatro parámetros mejore predicción, no solo ajuste.

Referencias

Distribución Johnson SU: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼JohnsonSU(ξ,λ,γ,δ)X\sim\mathrm{JohnsonSU}\left(\xi,\lambda,\gamma,\delta\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

ξ∈R,λ∈R+,γ∈R,δ∈R+\xi\in\mathbb{R},\lambda\in\mathbb{R}^{+},\gamma\in\mathbb{R},\delta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(γ+δsinh⁡−1(z(x)))F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\gamma+\delta\sinh^{-1}(z(x))\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=δλ2πz(x)2+1exp⁡[−12(γ+δsinh⁡−1(z(x)))2]f_{X}\left(x\right)=\frac{\delta}{\lambda\sqrt{2\pi}\sqrt{z(x)^2+1}}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\gamma+\delta\sinh^{-1}(z(x))\right)^2\right]

Función de punto percentil

FX−1(u)=λsinh⁡(Φ−1(u)−γδ)+ξF^{-1}_{X}\left(u\right)=\lambda\sinh\left(\frac{\Phi^{-1}(u)-\gamma}{\delta}\right)+\xi

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=ξ−λexp⁡δ−22sinh⁡(γδ)\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\xi-\lambda \exp\frac{\delta^{-2}}{2} \sinh\left(\frac{\gamma}{\delta}\right)

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=λ22(exp⁡(δ−2)−1)(exp⁡(δ−2)cosh⁡(2γδ)+1)\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{\lambda^2}{2} (\exp(\delta^{-2})-1)\left(\exp(\delta^{-2}) \cosh\left(\frac{2\gamma}{\delta}\right) +1\right)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=−λ3eδ−2(eδ−2−1)2(eδ−2)(eδ−2+2)sinh⁡(3γδ)+3sinh⁡(2γδ))4Variance(X)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=-\frac{\lambda^{3}\sqrt{e^{\delta^{-2}}}(e^{\delta^{-2}}-1)^{2}(e^{\delta^{-2}})(e^{\delta^{-2}}+2)\sinh(\frac{3\gamma}{\delta})+3\sinh(\frac{2\gamma}{\delta}))}{4\mathrm{Variance}(X)^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=λ4(eδ−2−1)2(K1+K2+K3)8Variance(X)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\frac{\lambda^{4}(e^{\delta^{-2}}-1)^{2}(K_{1}+K_{2}+K_{3})}{8\mathrm{Variance}(X)^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=ξ+λsinh⁡(−γδ)\mathrm{Median}(X)=\xi+\lambda \sinh\left(-\frac{\gamma}{\delta}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

ξ:Location parameter\xi:\text{Location parameter}
λ:Scale parameter\lambda:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−ξ)/λz\left(x\right)=\left(x-\xi\right)/\lambda
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
K1=(eδ−2)2((eδ−2)4+2(eδ−2)3+3(eδ−2)2−3)cosh⁡(4γδ)K_{1}=\left(e^{\delta^{-2}}\right)^{2}\left(\left(e^{\delta^{-2}}\right)^{4}+2\left(e^{\delta^{-2}}\right)^{3}+3\left(e^{\delta^{-2}}\right)^{2}-3\right)\cosh\left(\frac{4\gamma}{\delta}\right)
K2=4(eδ−2)2((eδ−2)+2)cosh⁡(3γδ)K_{2}=4\left(e^{\delta^{-2}}\right)^{2}\left(\left(e^{\delta^{-2}}\right)+2\right)\cosh\left(\frac{3\gamma}{\delta}\right)
K3=3(2(eδ−2)+1)K_{3}=3\left(2\left(e^{\delta^{-2}}\right)+1\right)