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Distribución Burr

Qué describe

La distribución Burr es una familia de colas derechas creada para describir datos positivos con más flexibilidad que una sola forma de potencia. Sus parámetros permiten modificar la escala, la concentración inicial y la caída de la cola.

Su soporte es positivo. El comportamiento extremo depende de la combinación de forma, especialmente del parámetro que controla la cola; algunos momentos pueden no existir aunque la muestra tenga una media finita.

Historia y nombres

I. W. Burr presentó en 1942 una colección de funciones de frecuencia que incluía varias formas útiles para datos sesgados. La familia se organiza a menudo como Burr tipo XII dentro de las distribuciones de Burr.

Relación con otras distribuciones

Burr XII está estrechamente ligada a la Beta de tipo II y a la familia GB2. Con elecciones particulares de parámetros aparecen formas cercanas a loglogística, Pareto y Dagum; por eso los nombres pueden cambiar entre campos.

Dónde aparece

  • fiabilidad, tiempos de vida y riesgo de fallo
  • distribuciones de ingreso, tamaño de partículas y fenómenos con cola pesada

Precauciones al ajustar

Comparar parámetros entre paquetes sin comprobar la convención de escala, forma y localización puede llevar a conclusiones erróneas.

La duodécima curva que terminó eclipsando a las otras once

Irving Burr presentó en 1942 un sistema de doce funciones acumuladas. La que hoy suele llamarse simplemente distribución Burr es su tipo XII. Su combinación de dos formas y una escala permite controlar por separado el comportamiento cerca de cero y la cola de potencia.

En economía también aparece como Singh Maddala. La Loglogística surge como un caso particular, y transformaciones recíprocas la conectan con Burr tipo III y Dagum bajo parametrizaciones adecuadas. Esta red de nombres exige cautela bibliográfica. En aplicaciones actuariales, la flexibilidad de la cola es atractiva, pero dos formas libres pueden intercambiarse al describir la zona central. El diagnóstico debe mirar probabilidades extremas y no solo criterios globales de ajuste.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los datos positivos combinan gran flexibilidad en el cuerpo con una cola derecha potencialmente pesada, como tiempos o tamaños heterogéneos.

Compárala con: Loglogistic, Pareto y Dagum. Contrasta probabilidades de supervivencia en escala logarítmica: modelos visualmente similares en el centro divergen mucho en la cola.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.burr12 — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Evans, M., Hastings, N. & Peacock, B. (2000). Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley.
  • Burr, I. W. (1942). Cumulative frequency functions. The Annals of Mathematical Statistics, 13(2), 215–232.

Distribución Burr: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Burr(A,B,C)X\sim\mathrm{Burr}\left(A,B,C\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

A∈R+,B∈R,C∈R+A\in\mathbb{R}^{+},B\in\mathbb{R},C\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−[1+(xA)B]−CF_{X}\left(x\right)=1-\left[1+\left(\frac{x}{A}\right)^{B}\right]^{-C}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=BCA(xA)B−1[1+(xA)B]−C−1f_{X}\left(x\right)=\frac{BC}{A}\left(\frac{x}{A}\right)^{B-1}\left[1+\left(\frac{x}{A}\right)^{B}\right]^{-C-1}

Función de punto percentil

FX−1(u)=A[(1−u)−1c−1]1BF^{-1}_{X}\left(u\right)=A\left[(1-u)^{-\frac{1}{c}}-1\right]^{\frac{1}{B}}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=AkC×Beta(BC−kB,B+KB)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=A^{k}C\times \text{Beta}\left(\frac{BC-k}{B},\frac{B+K}{B}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=A[(12)−1c−1]1B\mathrm{Median}(X)=A\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{c}}-1\right]^{\frac{1}{B}}

Moda paramétrica

Mode(X)=A(B−1BC+1)1B\mathrm{Mode}(X)=A\left(\frac{B-1}{BC+1}\right)^{\frac{1}{B}}

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}