PLAYGROUND

Distribución Logaritmica

Qué representa

Logarítmica es una distribución de conteo positivo cuya probabilidad decrece como p^x/x. Aunque su nombre sugiere logaritmos, nace de una expansión logarítmica y modela tamaños de grupos o especies.

Pista histórica

Fisher, Corbet y Williams la introdujeron en 1943 para describir la distribución de abundancias de especies en muestras ecológicas.

Relaciones que aclaran su uso

Puede surgir al condicionar una Poisson compuesta sobre un conteo positivo bajo ciertas mezclas. Se relaciona con modelos de abundancia y con la familia de distribuciones de conteo sobredispersas.

Ejemplos de datos

  • número de individuos por especie en ecología
  • tamaños de grupos, incidencias y conteos positivos con muchos grupos pequeños

Advertencia de modelado

No confundirla con una distribución lognormal continua ni con el logaritmo de un conteo; son objetos distintos.

De una serie matemática a especies observadas

La constante de normalización procede de la serie de -ln [1-p], de ahí el nombre Logarítmica o log-series. Fisher, Corbet y Williams la llevaron a la ecología en 1943 para describir abundancias: muchas especies aparecen una sola vez y unas pocas reúnen numerosos individuos. El parámetro controla cuán lentamente cae esa secuencia de tamaños.

Existe además una conexión estructural poco visible en un histograma. Si el número de grupos es Poisson y el tamaño positivo de cada grupo es Logarítmico, el total puede seguir una Binomial Negativa. Esta representación mediante suma compuesta explica por qué la distribución aparece en poblaciones agrupadas. También recuerda que el valor uno dominante no basta para identificarla, pues varias leyes de conteo comparten esa apariencia.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los conteos positivos representan tamaños de grupos o especies con muchos unos y una cola decreciente, sin posibilidad de cero.

Compárala con: Geometric y Negative Binomial. La Logarithmic aparece naturalmente como tamaño de clúster en construcciones compuestas; no es un modelo genérico para conteos con ceros.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.logser — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kemp, A. W. & Kotz, S. (2005). Univariate Discrete Distributions, 3rd ed. Wiley.
  • Fisher, R. A., Corbet, A. S. & Williams, C. B. (1943). The relation between the number of species and the number of individuals in a random sample of an animal population. Journal of Animal Ecology, 12(1), 42–58.

Distribución Logaritmica: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Logarithmic(p)X\sim\mathrm{Logarithmic}\left(p\right)

Dominio de distribución

x∈N⩾1≡{1,2,… }x\in\mathbb{N}_{\geqslant 1}\equiv \left\{1,2,\dots\right\}

Dominio y restricciones de parámetros

p∈(0,1)⊆Rp\in\left(0,1\right)\subseteq\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=∑i=0x1−ln⁡(1−p)piiF_{X}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{x}\frac{1}{-\ln(1 - p)} \frac{p^i}{i}

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=1−ln⁡(1−p)pxxf_{X}\left(x\right)=\frac{1}{-\ln(1 - p)} \frac{p^x}{x}

Función de punto percentil

FX−1(u)=arg⁡min⁡x∣FX(x)−u∣F^{-1}_{X}\left(u\right)=\arg\min_{x}\left| F_{X}\left(x\right)-u \right|

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x=0∞xkfX(x)=(k−1)!−ln⁡(1−p)(p1−p)kE[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x=0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)=\frac{(k - 1)!}{-\ln(1 - p)} \left(\frac{p}{1 - p}\right)^k

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=1−ln⁡(1−p)p1−p\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{1}{-\ln(1 - p)} \frac{p}{1 - p}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=−p2+pln⁡(1−p)(1−p)2(ln⁡(1−p))2\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=-\frac{p^2 + p\ln(1-p)}{(1-p)^2(\ln(1-p))^2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(0.5)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(0.5\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=1\mathrm{Mode}(X)=1

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. However, it is possible to calculate the Percentile Point Function by approximating it to the nearest integer.
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}